사다리 타기는 공정할까

결론부터 — 가로줄이 적으면 공정하지 않다

사다리 타기는 누구나 공평하다고 믿는 추첨입니다. 그런데 종이에 세로줄을 긋고 가로줄을 몇 개 대충 그은 사다리는 생각보다 많이 치우칩니다. 처음 고른 자리 근처로 내려갈 확률이 높고, 멀리 떨어진 칸으로 갈 확률은 아주 낮습니다. 다섯 명이 가로줄 다섯 개로 사다리를 그리면, 맨 왼쪽 사람이 맨 왼쪽 결과로 그대로 내려갈 확률이 44.8%나 됩니다. 공평하다면 20%여야 하는 자리입니다.

손으로 그린 사다리를 10만 번 따라가 보면

다섯 명 사다리에 가로줄을 아무 칸, 아무 높이에나 그어 판을 만들고(같은 높이에 붙은 가로줄은 피함), 판마다 다섯 사람을 모두 따라 내려가 보았습니다. 가로줄 개수를 바꿔 가며 각각 10만 판씩 세었습니다.

가로줄이 다섯 개뿐이면 맨 왼쪽 사람이 맨 오른쪽 결과를 받을 확률은 100판에 한 번꼴입니다. 사실상 그 결과는 왼쪽 끝 사람에게 가지 않는다는 뜻입니다. 가운데 사람은 비교적 고르게 흩어지지만, 양 끝에 선 사람일수록 자기 자리 근처에 묶입니다.

왜 이렇게 치우칠까

가로줄 하나는 이웃한 두 줄의 자리만 바꿉니다. 맨 왼쪽에서 맨 오른쪽까지 가려면 다섯 명 사다리에서 적어도 네 번, 그것도 오른쪽으로만 건너야 합니다. 가로줄이 적으면 그런 길이 생길 일이 거의 없습니다. 반대로 한 번도 건너지 않거나, 오른쪽으로 갔다가 다시 왼쪽으로 돌아오면 제자리입니다. 그래서 가로줄이 적은 사다리는 사람들을 조금씩만 섞는 셈이 됩니다.

표에서 보듯 다섯 명 기준으로 가로줄이 40개, 곧 칸마다 열 개쯤 되어야 겨우 고르게 섞입니다. 종이에 손으로 그리기에는 꽤 많은 양입니다.

종이 사다리를 공평하게 쓰는 요령

• 가로줄을 넉넉히. 사람 수가 다섯이면 마흔 개, 적어도 칸마다 열 개쯤을 목표로 그으세요.
• 결과를 가린 뒤 여럿이 나눠 긋기. 한 사람이 다 그으면 무의식중에 결과를 알게 됩니다. 결과 칸을 접어 가리고, 돌아가며 한두 줄씩 보태면 아무도 길을 미리 알 수 없습니다.
• 자리는 줄을 다 그은 뒤에 고르기. 자리를 먼저 정하고 줄을 그으면, 줄을 긋는 사람이 결과를 조종할 수 있습니다.

한판고 사다리는 결과부터 고르게 뽑는다

한판고 사다리 타기는 가로줄을 무작위로 긋지 않습니다. 순서가 반대입니다. 먼저 누가 어느 결과로 갈지를 카드 섞듯 고르게 뽑고, 그 결과가 나오도록 가로줄을 그립니다. 그래서 가로줄 개수와 상관없이 모든 자리가 모든 결과로 같은 확률로 갑니다.

게임이 판을 만드는 코드를 그대로 다섯 명 판으로 10만 번 돌려 보니, 25개 칸이 모두 19.8%에서 20.3% 사이였습니다. 다섯 명이 모두 제자리로 내려가는 판도 0.83% 나왔는데, 이는 정확히 120가지 순서 중 하나가 나올 확률(120분의 1)입니다. 「제자리는 안 나오게」 같은 손질을 하지 않았다는 뜻이기도 합니다. 세 명 판에서는 같은 값이 16.6%로, 여섯 가지 중 하나(6분의 1)와 맞습니다.

몇 가지 규칙을 더 지킵니다. 판은 처음 만들 때 가로줄까지 전부 정해지고, 이름을 누르거나 전체 공개를 할 때는 난수를 한 번도 쓰지 않습니다. 모든 세로줄은 적어도 한 번은 가로줄에 닿도록, 필요하면 서로 상쇄되는 가로줄 한 쌍을 끼워 넣습니다. 그리고 판은 링크 하나에 담겨서, 그 링크를 연 사람은 누구나 똑같은 사다리를 봅니다.

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