기억력 카드 몇 번 만에 끝내면 잘한 걸까

결론부터 — 보통 판은 32번 안팎이면 잘한 것이다

한판고 기억력 카드의 기록은 맞춘 짝의 수가 아니라 카드를 뒤집은 횟수입니다. 적을수록 좋고, 이론상 최고 기록은 카드 장수와 같습니다. 모든 카드를 딱 한 번씩만 뒤집고 끝낸 경우입니다.

그런데 이 최고 기록은 실력으로 닿는 숫자가 아닙니다. 처음 보는 두 장이 우연히 짝이어야 하는 순간이 판마다 여러 번 오기 때문입니다. 한 번 본 카드를 하나도 잊지 않는 사람이 가장 좋은 방법으로 풀어도 보통 판(20장)은 평균 31.3번이 걸렸습니다. 그러니 오늘의 도전에서 30번대 초반이 나왔다면 기억은 거의 완벽했고, 나머지는 운이 정한 것입니다.

난이도별로 센 뒤집기 수

세 난이도 판을 각각 10만 개씩 만들어, 본 카드를 모두 기억하는 가상의 사람에게 풀게 했습니다. 그 사람은 아래 「가장 좋은 순서」대로만 뒤집습니다. 비교를 위해 아무것도 기억하지 않고 두 장씩 아무렇게나 뒤집는 경우도 함께 셌습니다.

완벽하게 기억해도 카드 장수의 1.5배쯤은 뒤집게 됩니다. 기억이 없으면 쉬움에서도 여섯 배, 어려움에서는 열다섯 배로 늘어납니다. 판이 커질수록 기억이 하는 일이 그만큼 커진다는 뜻입니다.

이 숫자는 수학자들이 따로 구한 값과도 맞습니다. Velleman과 Warrington(2013)은 n짝 판을 가장 좋은 방법으로 풀 때 필요한 차례(두 장씩 뒤집는 한 번)가 평균 약 (3 − 2ln2)n + 7/8 − 2ln2, 곧 짝 수의 약 1.61배라는 것을 보였습니다(American Mathematical Monthly 120(9), 787–805). 보통 판 10짝이면 약 15.6차례, 카드로는 31.3번이라 우리가 센 값과 같습니다.

최고 기록이 사실상 나오지 않는 이유

카드 장수만큼만 뒤집으려면 새 카드를 열 때마다 그 짝이 이미 본 카드 가운데 있거나, 처음 보는 두 장이 마침 짝이어야 합니다. 처음 연 두 장이 짝일 확률은 쉬움에서 11분의 1, 그다음 차례가 또 그럴 확률은 9분의 1처럼 이어집니다. 끝까지 곱하면 쉬움에서 최고 기록이 나올 확률은 10,395판에 한 번이고, 실제로 10만 판 가운데 8판이었습니다.

보통 판은 6억 5,472만 9,075판에 한 번, 어려움은 약 6,190조 판에 한 번입니다. 그래서 오늘의 도전(보통)에서 기록을 견줄 때는 20번이라는 숫자를 목표로 삼기보다 30번 안쪽을 노리는 편이 현실적입니다.

몇 장까지 기억하면 충분할까

사람은 본 카드를 다 기억하지 못합니다. 그래서 「가장 최근에 본 카드 k장의 자리만 기억하고, 그보다 오래된 것은 잊는」 사람을 만들어 보통 판을 2만 판씩 풀게 했습니다.

놀랍게도 20장 판에서 8장만 기억해도 완벽 기억과 거의 같은 기록이 나왔습니다. 짝을 찾은 카드는 판에서 사라지고, 오래 전에 본 카드는 대개 이미 짝을 찾아 사라진 뒤이기 때문입니다. 반대로 4장에서 2장으로 줄면 기록이 거의 두 배가 됩니다. 기록을 가르는 것은 많이 외우는 힘이 아니라 방금 본 몇 장을 놓치지 않는 힘입니다.

기록을 줄이는 순서

• 아는 짝이 있으면 그것부터 지운다. 두 장의 자리를 모두 안다면 다른 카드를 열기 전에 바로 맞춥니다. 판에 남은 카드가 줄수록 기억할 것도 줄어듭니다.
• 첫 장은 언제나 처음 보는 카드로. 연 카드의 짝을 이미 봤다면 그 자리를 엽니다. 처음 보는 그림이면 둘째 장도 처음 보는 카드로 엽니다. 위 표의 「완벽 기억」은 이 두 줄만 지킨 결과입니다.
• 자리를 줄 단위로 외운다. 처음 몇 차례는 어차피 짝이 잘 나오지 않으니, 한 줄씩 차례로 열어 「셋째 줄 맨 왼쪽」처럼 자리로 기억합니다. 그림 이름보다 자리가 오래 남습니다.
• 뒤집히기를 기다리지 않는다. 두 장이 다르면 다음 카드를 바로 눌러도 앞의 두 장이 곧장 덮입니다. 뒤집기 수가 같으면 시간이 짧은 쪽이 이기므로, 기다린 시간은 그대로 기록에서 빠집니다.

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