한붓그리기 원리

결론부터 — 세어 보면 그려 보기 전에 안다

한붓그리기는 종이에서 펜을 떼지 않고, 같은 선을 두 번 지나지 않고 그림 전체를 그리는 놀이입니다. 몇 번을 시도해도 안 되는 그림은 솜씨가 아니라 그림 자체가 안 되는 그림인 경우가 많습니다. 그걸 미리 알아보는 규칙은 하나입니다. 선이 홀수 개 모이는 점(홀수점)이 0개나 2개면 그릴 수 있고, 4개 이상이면 그릴 수 없습니다.

한판고 한붓 배달처럼 선 대신 칸을 한 번씩 잇는 퍼즐에는 또 다른 규칙이 통합니다. 판을 체스판처럼 두 색으로 칠하면 한 걸음마다 색이 바뀌므로, 출발과 출구의 색만 보고 걸음 수가 홀수인지 짝수인지 알 수 있습니다. 10년치 3,650판에서 이 규칙은 한 판도 빠짐없이 맞았습니다.

홀수점 규칙 — 왜 0개나 2개일까

그림의 한 점을 지나갈 때마다 선은 그 점으로 하나 들어오고 하나 나갑니다. 그래서 중간에 지나가기만 하는 점에는 선이 늘 짝수 개 모입니다. 선이 홀수 개 모일 수 있는 곳은 시작점과 끝점 두 곳뿐입니다. 시작점과 끝점이 같으면 홀수점은 0개, 다르면 2개가 됩니다.

홀수점이 2개일 때는 반드시 홀수점 하나에서 시작해 다른 홀수점에서 끝나야 합니다. 지붕 있는 집을 지붕 꼭대기에서 시작하면 아무리 해도 안 되는 이유가 여기 있습니다. 홀수점이 4개면 펜을 한 번 떼고 두 획으로, 6개면 세 획으로 그려야 합니다. 홀수점 수를 둘로 나눈 값이 필요한 획 수입니다. 1736년 수학자 오일러가 쾨니히스베르크 다리 문제를 이 방법으로 풀었습니다.

칸을 잇는 퍼즐은 체스판 색으로 본다

한붓 배달은 선이 아니라 칸을 지납니다. 5×5 판에서 출발 칸부터 위·아래·왼쪽·오른쪽으로 한 칸씩 이어, 배달 지점을 모두 지나고 출구에 닿으면 끝납니다. 지난 칸은 다시 밟을 수 없습니다. 이런 퍼즐에서는 판을 체스판처럼 번갈아 칠해 보면 많은 것이 보입니다.

• 한 걸음마다 색이 바뀝니다. 그래서 출발과 출구가 같은 색이면 걸음 수는 늘 짝수, 다른 색이면 늘 홀수입니다. 3,650판 가운데 출발과 출구가 같은 색인 판이 54.4%였고, 최단 걸음 수의 홀짝은 3,650판 모두 이 규칙대로였습니다.
• 그래서 「최단보다 한 칸 더」는 나올 수 없습니다. 어떤 길로 가든 걸음 수의 홀짝은 같으므로, 최단 대비 추가 칸수는 0, 2, 4처럼 늘 짝수입니다. 결과가 「추가 2칸」이었다면 한 번만 덜 돌아가면 최단이라는 뜻입니다.
• 막힌 판을 미리 알아봅니다. 남은 칸을 모두 지나야 하는 퍼즐이라면, 남은 두 색의 칸 수가 둘 이상 차이 날 때 그 판은 어떻게 해도 끝나지 않습니다. 두 색을 번갈아 밟으니 한 색이 둘 이상 남을 수 없기 때문입니다.

한붓 배달 3,650판을 세어 보니

최단은 평균 9.27칸이고, 8칸보다 짧은 판은 너무 쉬워서 만들 때 버립니다. 배달 지점은 2곳인 판이 42.3%, 3곳인 판이 57.7%였습니다. 눈여겨볼 숫자가 둘 있습니다. 배달 지점 가운데 벽과 가장자리에 막혀 드나들 칸이 둘뿐인 곳이 있는 판이 60.8%였습니다. 그런 지점은 들어오는 칸과 나가는 칸이 이미 정해져 있어 길의 한 토막이 공짜로 풀립니다. 그리고 최단 길이 딱 하나뿐인 판은 24.1%였습니다. 네 판 중 세 판은 최단으로 가는 길이 둘 이상이라, 처음 떠오른 길이 최단이 아니어도 다른 최단 길이 남아 있는 경우가 많습니다.

한붓 퍼즐을 빨리 푸는 습관

• 그리기 전에 센다. 선을 잇는 그림이면 홀수점부터, 칸을 잇는 판이면 출발과 출구의 색부터 봅니다.
• 출입구가 둘뿐인 곳부터 잇는다. 선택지가 없는 자리를 먼저 채우면 남은 판이 빠르게 좁아집니다.
• 판을 둘로 가르지 않는다. 선이 판을 가로질러 남은 칸이 두 덩어리로 나뉘면, 한쪽에 남은 배달 지점은 영영 갈 수 없습니다.
• 출구는 마지막에만 밟는다. 지나간 칸은 닫히므로 배달 전에 출구를 밟으면 되돌아오지 못합니다.

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